2026年第67届IMO国家集训队第一阶段集训：第一天&第二天试题出炉

根据日程安排，2026年第67届IMO国家集训队第一阶段集训从3月5日开始，共有来自全国的60位国家集训队选手参加。他们将通过包括这两场考试在内的多轮选拔，竞争进入下一阶段的资格晋级全国前15强的名额。

第一阶段的前两天（3月7日和3月8日）安排了考试，两天考试共6道题。这些题目代表了当前中国数学竞赛最高水平的选拔试题，涵盖了数论、几何、代数、组合等多个领域。

第一天试题 (Day 1)第1题：数论/组合数论 (Fibonacci数列与操作问题)题目概览：初始数对为 (0,0)(0,0) ，每次操作可以加上或减去相邻的Fibonacci数对 (Fk,Fk+1)(Fk,Fk+1) 。要求证明对于任意正整数 p,qp,q ，存在常数 CC ，使得能在 Cln⁡(p+q)Cln(p+q) 次操作内得到 (p,q)(p,q) 。考点分析：Fibonacci数列的性质：利用Fibonacci数列的递推关系和增长特性（指数级增长）。操作的逆向思维：这是一个典型的“可达性”与“操作步数估计”问题。核心思路通常是逆向操作，即从目标 (p,q)(p,q) 出发，通过减去Fibonacci对来还原到 (0,0)(0,0) 。贪心算法与对数复杂度：证明步数与 ln⁡(p+q)ln(p+q) 成正比，暗示了每一步操作能使数值规模指数级减小（类似于辗转相除法或二进制表示）。难度评估：中等偏上。这是一道非常漂亮的数论/组合题。关键在于发现逆向操作的贪心策略（类似于欧几里得算法），并利用Fibonacci数列的性质来控制步数。对于熟悉进制表示和数论变换的选手来说，思路相对清晰。第2题：平面几何 (圆与角度条件)题目概览：给定圆 ΩΩ 上的点 A,BA,B 和满足 ∠ACB=90∘∠ACB=90∘ 的点 CC 。 PP 是优弧 ABAB 上的动点，构造点 QQ 满足 CQ∥PMCQ∥PM 且 ∠QPM=∠MCP∠QPM=∠MCP 。证明存在定点 KK 使得 ∠PQK=∠PCK∠PQK=∠PCK 。考点分析：圆的性质：直径所对的圆周角为直角（ ABAB 是直径），优弧上的角度关系。轨迹与定点问题：这是几何题中的经典难点。需要证明无论 PP 如何运动，某个角度关系恒成立，暗示点 KK 与 PP 的位置无关。角度追逐与相似/全等：利用平行线和等角条件构造辅助圆或相似三角形。反演或复数法：这种涉及动点和定点的复杂几何关系，有时用解析法（坐标系）或复数法会比较直接，但纯几何解法需要极强的洞察力。难度评估：高难度。这是一道典型的IMO压轴难度的几何题。构造条件复杂，且要求证明定点的存在性。选手需要敏锐地发现图形中的不变量，或者通过特殊位置（如 PP 在特定点时）猜出 KK 的位置，再进行一般性证明。第3题：代数/不等式 (复数与组合恒等式)题目概览：给定模长不超过1的复数 z1,…,znz1,…,zn ，证明一个涉及组合数 CnkCnk 和 zizi 乘积和的不等式，并求等号成立条件。考点分析：复数的模与三角不等式：利用 ∣zi∣≤1∣zi∣≤1 这个条件。对称多项式与初等对称和：题目中的求和项是初等对称多项式 ek(z1,…,zn)ek(z1,…,zn) 。组合恒等式与不等式放缩：需要将左边的表达式与右边的 ∣n−∑zi∣∣n−∑zi∣ 联系起来。这通常涉及到复杂的代数变形或经典的不等式（如Schur不等式、Muirhead不等式等的变体，或者利用生成函数）。等号成立条件：通常意味着所有变量相等或取边界值（模为1）。难度评估：极高难度。这道题看起来非常抽象，涉及复数、组合数和不等式三个领域的深度结合。它不像一道常规的不等式题，更像是一个代数结构的深刻性质。对于大多数选手来说，找到正确的放缩方向或代数恒等式是极大的挑战。这通常是第一天的压轴题。第二天试题 (Day 2)第4题：组合/图论 (网格图与标号不等式)题目概览：在一个 2026×2026×20262026×2026×2026 的三维网格图上，顶点标号和为0。 g(e)g(e) 是边两端点标号差的绝对值。证明一个关于 ∣f(v)∣p∣f(v)∣p 和 g(e)pg(e)p 的不等式。考点分析：图上的函数与差分：这是图论中关于函数梯度（差分）和函数值的不等式。Poincaré不等式或Sobolev不等式的离散形式：这种形式的不等式在图论和分析中很常见，本质上是控制函数值的大小通过其变化率。不等式放缩与组合计数：需要利用网格图的结构（每个点有6个邻居），通过路径或覆盖等技巧进行放缩。常数 6677p6677p ：这个常数看起来很随意，但实际上可能与网格的直径或某种特定的路径长度有关。难度评估：中等。虽然看起来很吓人，但这类“图上函数不等式”是组合数学中的一个经典主题。只要理解了其背后的“差分控制函数值”的思想，通过构造路径或利用图的连通性，证明思路是比较明确的。常数估计可能繁琐，但核心思想不难。第5题：组合/图论 (完全图的边标号与路径和)题目概览：给 K2026K2026 的边标号 11 到 C20262C20262 ，每个数用一次。要求任意两点间存在一条路径，其边标号和不超过 kk 。求最小的 kk 。考点分析：极值图论与标号问题：这是一个典型的极值组合问题。路径和的最小化：目标是让图中任意两点间的“最短路径”（按标号和算）尽可能小。构造与下界估计：需要构造一个标号方案使得 kk 尽可能小（上界），并证明任何方案下 kk 都不能更小（下界）。贪心或分治策略：构造时可能需要将小标号集中在某些区域，或者采用某种分层结构。难度评估：高难度。这类问题需要很强的构造能力和对图结构的深刻理解。下界估计通常比较棘手，可能需要考虑所有路径的平均值或利用某种计数论证。这是第二天的一道硬骨头。第6题：数论/数列 (质数与数列出现次数)题目概览：定义一个数列 anan ， a1=2a1=2 ， anan 是不整除某个乘积的最小质数。 f(p)f(p) 是质数 pp 在数列中出现的次数。证明一个关于 f(pi)f(pi) 和质数 pipi 的不等式。考点分析：数列的递推定义：理解 anan 的定义是关键。这是一个“反素数”或“避免整除”的构造。质数分布与数论函数：涉及质数在特定数列中的分布密度。不等式证明：右边的表达式 12(max⁡pi+∑pi)21(maxpi+∑pi) 暗示了某种线性或次线性增长。归纳法或反证法：可能需要通过归纳来控制 f(p)f(p) 的大小。难度评估：中等偏上。这道题的定义非常新颖，理解起来有一定门槛。一旦理解了数列的生成规律（可能与某种筛法有关），问题就转化为对数列中质数分布的估计。对于数论功底深厚的选手，这道题比第3题和第2题更容易上手。总结整体难度：这两套试题的难度极高，完全符合IMO国家队选拔的标准。题目设计精巧，既有经典问题的变体，也有全新的原创问题。难度梯度：第一天的第3题和第二天的第5题可能是最难的两道题。第1题和第4题相对“常规”，是选手必须争取分数的题目。第2题和第6题则处于中间位置，考验选手的综合能力。考察重点：除了传统的“几何、数论、代数、组合”四大板块，这些题目特别强调深刻的理解力、巧妙的构造能力和严谨的不等式放缩技巧。特别是第3题和第4题，展示了代数与组合的深度结合。